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：


高中数学对数公式大全

　　是log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)的
。

当a>0且a≠1时,M>0,N>0
，那么

　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

　　（4）换底公式
：
log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）

　　(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明
：


　　设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

　　(6)对数恒等式
：
a^log（a)N=N;

　　log（a）a^b=b

（7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

　　1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

　　2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

　　3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

　　4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

　　log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(m/n)log(a)M

　　5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

　　对数与指数之间的关系
：
当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N

补充

　　两句经典话
：
底真同对数正
，底真异对数负
。

解释如下

　　也就是说
：
若y=logab （其中a>0
，a≠1
，b>0）

　　当00;

　　当a>1
， b>1时
，y=logab>0;

　　当01时
，y=logab<0;

　　当a>1
， 0

　　对数公式是数学中的一种常见公式
，如果a^x=N(a>0,且a≠1)
，则x叫做以a为底N的对数
，记做x=log(a)(N)
，其中a要写于log右下
。

　　其中a叫做对数的底
，N叫做真数
。

　　通常我们将以10为底的对数叫做常用对数
，以e为底的对数称为自然对数
。

　　对数运算
，实际上也就是指数在运算
。

高中数学对数运算所有公式
。

　　若a^n=b(a>0且a≠1)

　　　　则n=log(a)(b)

　　　　基本性质
：


　　　　1、a^(log(a)(b))=b

　　　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　　　推导

　　　　1、因为n=log(a)(b)
，代入则a^n=b
，即a^(log(a)(b))=b
。

　　　　2、MN=M×N

　　　　由基本性质1(换掉M和N)

　　　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

　　　　由指数的性质

　　　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

　　　　又因为指数函数是单调函数
，所以

　　　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

　　　　3、与（2）类似处理

　　　　MN=M÷N

　　　　由基本性质1(换掉M和N)

　　　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

　　　　由指数的性质

　　　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

　　　　又因为指数函数是单调函数
，所以

　　　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

　　　　4、与（2）类似处理

　　　　M^n=M^n

　　　　由基本性质1(换掉M)

　　　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

　　　　由指数的性质

　　　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

　　　　又因为指数函数是单调函数
，所以

　　　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　　　基本性质4推广

　　　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　　　推导如下
：


　　　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)
，e称作自然对数的底]

　　　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　　　由基本性质4可得

　　　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

　　　　再由换底公式

　　　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）

　　编辑本段函数图象

　　　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.

　　　　2.对于y=log(a)(n)函数,

　　　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.

　　　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.

　　　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.

　　编辑本段其他性质

　　　　性质一
：
换底公式

　　　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

　　　　推导如下
：


　　　　N = a^[log(a)(N)]

　　　　a = b^[log(b)(a)]

　　　　综合两式可得

　　　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　　　又因为N=b^[log(b)(N)]

　　　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}

　　　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

　　　　公式二
：
log(a)(b)=1/log(b)(a)

　　　　证明如下
：


　　　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数

　　　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

　　　　在实用上
，常采用以10为底的对数
，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数
，它适用于求十进伯制整数或小数的对数
。

　　例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表
，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值
。

　　在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数
，并将记号 loge
。

　　简写为ln
，称为自然对数
，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁
，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性
。

　　历史上
，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表
。

　　但随着电子技术的发展
，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代
。